# ➥命题逻辑

## ➥命题

$\:p\:$为一个命题，则$\:p\:$的否定记作$\:\lnot p\:$（也可记作$\:\overline{p}\:$），指“不是$\:p\:$所指的情形”。命题$\:\lnot p\:$读作“非$\:p\:$”。$\:p\:$的否定$\:\lnot p\:$的真值和$\:{p}\:$的真值相反。

$p$ $\lnot p$
$T$ $F$
$F$ $T$

$\:p\:$$\:q\:$为命题。$\:p\:$$\:q\:$的合取即命题“$\:p\:$并且$\:q\:$”，记作$\:p\land{q}\:$。当$\:p\:$$\:q\:$都是真时$\:p\land{q}\:$命题为真，否则为假

$\:p\:$$\:q\:$为命题。$\:p\:$$\:q\:$的析取即命题“$\:p\:$$\:q\:$”，记作$\:p\lor{q}\:$。当$\:p\:$$\:q\:$均为假时，$\:p\lor{q}\:$命题为假，否则为真。

$\:p\:$$\:q\:$为命题。$\:p\:$$\:q\:$的异或（记作$p\oplus q$）是这样一个命题： 当$\:p\:$$\:q\:$中恰好只有一个为真命题时为真，否则为假。

$\:p\:$$\:q\:$为命题条件语句$p \to q$是命题“如果$p$，则$q$”。当$p$为真而$q$为假时，条件语句$p \to q$为假，否则为真。在条件语句$p \to q$中，$p$称为假设（前件、前提），$q$称为结论（后件）。
$p$ $q$ $p\land q$ $p\lor q$ $p\oplus q$ $p \to q$
$T$ $T$ $T$ $T$ $F$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $T$ $F$
$F$ $T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $T$

## ➥条件语句

• 充分条件： 如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
• 必要条件： 必要条件是数学中的一种关系形式。如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作$B→A$，读作“B含于A”。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
• 充分必要条件： 也称充要条件 如果$\:p\:$$\:q\:$的充要条件，则通过$\:p\:$可以推导出$\:q\:$，通过$\:q\:$也可以推导出$\:p\:$$p \leftrightarrow q$。当且仅当即指充要条件。

$p$仅当$q$”和“$q$除非$\lnot p$

• $p$仅当$q$”，表达了“如果$p$，则$q$”同样的意思。
• $q$除非$\lnot p$”，与$p \to q$拥有相同的真值。可以做下转换，$q$除非$\lnot p$”，也就是说“如果非$\lnot p$$q$”即$\lnot\lnot p \to q= p \to q$

$p$ $q$ $p\to q$ $q\to p$ $\lnot q\to\lnot p$ $\lnot p\to\lnot q$
$T$ $T$ $T$ $T \to T = T$ $\lnot{T} \to \lnot{T} = F \to F = T$ $\lnot{T} \to \lnot{T} = F \to F = T$
$T$ $F$ $F$ $F \to T = T$ $\lnot{F} \to \lnot{T} = T \to F = F$ $\lnot{T} \to \lnot{F} = F \to T = T$
$F$ $T$ $T$ $T \to F = F$ $\lnot{T} \to \lnot{F} = F \to T = T$ $\lnot{F} \to \lnot{T} = T \to F = F$
$F$ $F$ $T$ $F \to F = T$ $\lnot{F} \to \lnot{F} = T \to T = T$ $\lnot{F} \to \lnot{F} = T \to T = T$

$\:p\:$$\:q\:$为命题。双条件语句$\:p \harr q\:$是命题“$\:p\:$当且仅当$\:q\:$”。当$\:p\:$$\:q\:$有同样的真值时，双条件语句为真，否则为假（即同为真或同为假）。双条件语句也称为双向蕴含。
$p$ $q$ $p\harr q$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$
$F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $T$

$p \harr{q}$$(p\to{q}\land{q}\to{p})$有完全相同的真值。

~

## ➥复合命题的真值表

$p$ $q$ $\lnot q$ $p\lor \lnot q$ $p\land q$ $(p\lor \lnot{q})\to(p\land q)$
$T$ $T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$ $T$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$ $F$ $F$ $T$
$F$ $F$ $F$ $T$ $F$ $F$

## ➥逻辑运算符的优先级

$\lnot,\land,\lor,\to,\harr$

$\lnot$ 1
$\land$ 2
$\lor$ 3
$\to$ 4
$\harr$ 5

## ➥逻辑运算和位运算

$T$ 1
$F$ 0

$x$ $y$ $x\lor y$ $x\land y$ $x\oplus q$
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $1$ $0$ $1$
$1$ $0$ $1$ $0$ $1$
$1$ $1$ $1$ $1$ $0$

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